Да, прививки к прогулкам не имеют отношения, вы же не в компанию чихающих детей пойдете.
А холод только весной закончится, что ж вы до апреля гулять не будете? ;)
А то, что с рук не слазит, тоже не проблема, первые прогулки ведь короткие, можно и на руках подержать. Я, кстати, часто вижу мамочку одну с уже взросленьким малышом (месяцев 7), но на руках, видимо, не сидит в коляске.