Алина, виза на Кипр нужна. Это и есть кипрская виза (не шенген). Шенген не нужен, турецкая виза тоже не нужна. Это если лететь из Донецка на Ларнаку. Визу Кипра дают всем при наличиии оплаченой бронировки отеля и авиабилетов, справки с работы и страховки. с этим проблем нет.
Насчет купаются ли там в конце сентября - да, купаются. В Турции в конце октября еще теплое море (сезон на сезон не приходится, но все же), а Кипр находится южнее Анталии.
Рекомендую брать авто на прокат и самим там поездить- природаи памятники просто супер!